Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức.
1. ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Phương pháp: khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc $()$ để làm nhân tử chung.
$A.B + A.C = A. (B + C)$
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) $x^3 + x = x . (x^2 + 1)$
b) $2(x + y) - 2y (x + y) = 2(x + y).(1 - y)$.
2. SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:
$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$
$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
$(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$
$(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$
$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$
$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) $x^2 - 8x + 16 = x^2 - 2.x.4 + 4^2 = (x - 4)^2$;
b) $8x^3 - 27 = (2x)^3 - 3^3 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$.
3. NHÓM CÁC HẠNG TỬ
Phương pháp: Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác (đặt nhân tử chung hoặc sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ) phân tích thành nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm.
Ví dụ 3. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) $xy + 2z + xz + 3y = (xy + xz) + (3z + 3y) = x(y + z) + 3(z + y) = (x + 3)(y +z)$.
b) $x^3 + 2x^2 -xy^2 - 2y^2=(x^3 - xy^2)+(2x^2 - 2y^2)=x(x^2 - y^2) +2(x^2 - y^2)=(x+2)(x^2-y^2)=(x+2)(x-y)(x+y)$.
