Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng. SVIP

1. Tam giác cân và tính chất

a. Tam giác cân

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có $AB=AC$.

Tam giác $ABC$ được gọi là cân tại đỉnh $A$, hai cạnh $AB$ và $AC$ là hai cạnh bên, $BC$ là cạnh đáy, $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ là hai góc ở đáy, $\widehat{A}$ là góc ở đỉnh. 

b. Tính chất của tam giác cân

Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Ví dụ 2. Cho tam giác $MNP$ cân tại $M$ có $\widehat{MNP}=30^\circ$. Tính $\widehat{NMP}$.

Lời giải

Vì tam giác $MNP$ cân tại $M$ nên $\widehat{MPN}=\widehat{MNP}=30^\circ$.

Áp dụng tổng các góc trong tam giác, ta có: $\widehat{NMP}=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có các cạnh bằng nhau. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$.

Lời giải

Tam giác $ABC$ là tam giác cân tại mỗi đỉnh nên:

$\widehat{A}=\widehat{B}$;

$\widehat{A}=\widehat{C}$;

$\widehat{B}=\widehat{C}$.

Suy ra $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ (1)

Áp dụng tổng các góc trong tam giác, ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^\circ$.

Chú ý: 

⚡ Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

⚡ Trong tam giác đều, các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng $60^\circ$.

2. Đường trung trực của một đoạn thẳng

a. Đường trung trực của đoạn thẳng

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Chú ý: Đường trung trực của một đoạn thẳng cũng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.

b. Tính chất của đường trung trực

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ 4. Cho đoạn thẳng $AB$ có đường trung trực $d$. Cho $E \in d$ và $E \not\in AB$ sao cho $EA=5$ cm. Tìm độ dài của đoạn thẳng $EB$.

Lời giải

Vì điểm $E$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên $EA=EB$. Suy ra $EB=5$ cm.

Ví dụ 5. Cho tam giác $DEF$ cân tại $D$, kẻ $DH\bot EF$ với $H \in EF$. Chứng minh rằng $D$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $EF$.

Xét hai tam giác $DEH$ và $DFH$ có:

$\widehat{DHE}=\widehat{DHF}=90^\circ$

$DE=DF$

$DH$: cạnh chung

Suy ra $\Delta DEH=\Delta DFH$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Do đó, $EH=FH$ (hai cạnh tương ứng)

Vậy $DH$ là đường trung trực của đoạn thẳng $EF$.

Nhận xét: Đường trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.