Tập hợp các số thực SVIP

I. TẬP HỢP SỐ THỰC

Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

Tập hợp các số thực được kí hiệu là \(ℝ\).

Ví dụ 1. Các số $\dfrac12=0,5$; $\dfrac13=0,333...=0,(3)$; $\sqrt{5}=2,236067977...$ đều là số thực.

Chú ý: Trong tập số thực cũng có các phép toán với các tính chất như trong tập số hữu tỉ.

II. TRỤC SỐ THỰC

⚡Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.

⚡Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Ví dụ 2. Trên trục số dưới đây:

Điểm $A$ biểu diễn số thực $-\dfrac73$;

Điểm $B$ biểu diễn số thực $-1,(6)$;

Điểm $C$ biểu diễn số thực $\sqrt{3}$;

Điểm $D$ biểu diễn số thực $2,5$.

Chú ý: Vì mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực nên các số thực lấp đầy trục số. Để nhấn mạnh điều này, người ta cũng gọi trục số là trục số thực.

III. SỐ ĐỐI CỦA SỐ THỰC

Quan sát điểm biểu diễn hai số thức $\sqrt{3}$ và $-\sqrt{3}$.

Ta thấy hai điểm $A$, $B$ nằm về hai phía của điểm gốc $O$ và $OA=OB$.

Ta nói $\sqrt{3}$ và $-\sqrt{3}$ là hai số đối nhau.

⚡Trên trục số thực, hai số thực (phân biệt) có điểm biểu diễn nằm về hai phía của điểm gốc $O$ và cách đều điểm gốc $O$ được gọi là hai số đối nhau.

⚡Mỗi số thực đều có một số đối. Số đối của số thực $m$ là số thực $-m$.

⚡Số đối của số $0$ là $0$.

Ví dụ 3. Tìm số đối của các số thực $0,45$; $1,(3)$; $-\sqrt{5}$.

Lời giải

Số đối của $0,45$ là $-0,45$;

Số đối của $1,(3)$ là $-1,(3)$;

Số đối của $-\sqrt{5}$ là $\sqrt{5}$.

IV. SO SÁNH SỐ THỰC

1. CÁCH SO SÁNH SỐ THỰC

⚡Cũng như với các số hữu tỉ, ta có

           +) Với hai số thực \(a\) và \(b\) bất kì ta luôn có \(a=b\) hoặc \(a< b\) hoặc \(a>b.\)

           +) Cho ba số thực \(a,\) \(b,\) \(c\) . Nếu \(a< b\) và \(b< c\) thì \(a< c\) (tính chất bắc cầu).

⚡Số thực bao gồm số hữu tỉ và số vô tỉ nên ta có thể đưa số thực về dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn) để so sánh.

Ví dụ 4. So sánh hai số thực $1,(3)$ và $1,34$.

Lời giải

Ta có: $1,(3)=1,333...$

Tương tự như so sánh hai số thập phân, ta so sánh lần lượt các số từ trái sang phải

Cùng ở vị trí số thập phân thứ $2$, vì $3<4$ nên $1,333...<1,34$.

Chú ý: Nếu \(0< a< b\) thì \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\).

2. MINH HỌA TRÊN TRỤC SỐ

⚡Trên trục số nằm ngang, nếu \(a< b\) hay $b>a$ thì điểm \(a\) nằm bên trái điểm \(b\). Ngược lại nếu điểm $a$ nằm bên trái điểm $b$ thì $a<b$.

⚡Trên trục số thẳng đứng, nếu \(a< b\) hay $b>a$ thì điểm \(a\) nằm dưới điểm \(b\). Ngược lại nếu điểm $a$ nằm dưới điểm $b$ thì $a<b$.

Ví dụ 5.

Điểm biểu diễn số thực $\sqrt{3}$ nằm giữa hai điểm $C$ và $D$ vì $1<\sqrt{3}<3$.