a) \(E F\) // \(B C\) suy ra \(\hat{A E F} = \hat{A B C}\) (hai góc đồng vị) (1)

\(M N\) // \(B C\) suy ra \(\hat{A B C} = \hat{A M N}\) (hai góc đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\hat{A E F} = \hat{A M N}\), mà hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra \(E F\) // \(M N\).

b) \(\hat{C A x} = \hat{A C B}\)

Vạy \(A x\) // \(B C\) (vì 2 góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).

Mà \(M N\) // \(B C\) duy ra \(A x\) // \(M N\) (cùng song song với \(B C\)).

a) \(x y / / x^{'} y^{'}\) nên \(\hat{x A B} = \hat{A B y^{'}}\) (hai góc so le trong). (1)

\(A A^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{x A B}\) nên: \(\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}} = \frac{1}{2} \hat{x A B}\). (2)

\(B B^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{A B y^{'}}\) nên: \(\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \frac{1}{2} \hat{A B y^{'}}\). (3)

Từ (2) và (3) ta có: \(\hat{A_{2}} = \hat{B_{1}} .\)

Mà hai góc ở vị trí so le trong, nên từ (1), (2), (3) ta có: \(A A^{'}\)  //  \(B B^{'}\) (có 2 góc so le trong bằng nhau).

b) \(x y / / x^{'} y^{'}\) nên \(\hat{A_{1}} = \hat{A A^{'} B}\) (hai góc so le trong).

\(A A^{'} / / B B^{'}\) nên \(\hat{A_{1}} = \hat{A B^{'} B}\) (hai góc đồng vị).

Vậy \(\hat{A A^{'} B} = \hat{A B^{'} B}\).

Trong \(\hat{A O B}\) dựng tia \(O t\) // \(O x\). (1)

Suy ra \(\left(\hat{O}\right)_{2} + \left(\hat{A}\right)_{2} = 18 0^{\circ}\) (2 góc trong cùng phía).

Khi đó \(\left(\hat{O}\right)_{1} = \hat{A O B} - \left(\hat{O}\right)_{2} = \hat{A O B} - \left(\right. 18 0^{\circ} - \left(\hat{A}\right)_{2} \left.\right) = \hat{A O B} + \left(\hat{A}\right)_{2} - 18 0^{\circ} = \left(\hat{B}\right)_{1}\)

\(\Rightarrow O t\) // \(B y\) (vì có cặp góc so le trong bằng nhau). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A x\) // \(B y\) (vì cùng song song với \(O t\) ).

Vậy \(A t\) // \(B z\).

A=1.21​+3.41​+5.61​+...+99.1001​

\(A = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{99} - \frac{1}{100}\)

\(A = \left(\right. 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{99} + \frac{1}{100} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{100} \left.\right)\)

\(A = \left(\right. 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{99} + \frac{1}{100} \left.\right) - \left(\right. 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{50} \left.\right)\)

\(A = \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \frac{1}{53} + . . . + \frac{1}{100}\)

Tổng \(A\) có \(50\) số hạng, ta có: \(A < \frac{1}{50} . 50 = 1\)

Phân số chỉ số trang sách đọc được trong ngày thứ tư là:

\(1 - \left(\right. \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \left.\right)\)

\(= 1 - \left(\right. \frac{10}{60} + \frac{15}{60} + \frac{12}{60} \left.\right)\)

\(= 1 - \frac{37}{60} = \frac{23}{60}\) (quyển sách)

Phân số chỉ số trang sách đọc được trong hai ngày đầu là:

\(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}\) (quyển sách)

Phân số chỉ số trang sách đọc được trong hai ngày sau là:

\(\frac{1}{5} + \frac{23}{60} = \frac{7}{12}\) (quyển sách)

Hai ngày đầu Bình đọc ít hơn hai ngày sau.

Phân số chỉ số chênh lệch đó là:

\(\frac{7}{12} - \frac{5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\) (quyển sách)

Thể tích nước tăng lên chính là thể tích tảng đá.

Chiều cao nước sau khi bỏ tảng đá là: \(60 + 5 = 65\) (cm)

Đổi \(60\) cm \(= 0 , 6\) m; \(65\) cm \(= 0 , 65\) m

Thể tích nước ban đầu trong bể là: \(1.0 , 6.0 , 6 = 0 , 36\) (m³)

Thể tích nước trong bể sau khi bỏ tảng đá là: \(1.0 , 6.0 , 65 = 0 , 39\) (m³)

Thể tích tảng đá là: \(0 , 39 – 0 , 36 = 0 , 03\) (m³) 

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật là: \(5.3.3 = 45\) (cm³)

b) 

Thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác là: \(\frac{\left(\right. 3 + 4 \left.\right) . 3}{2} . 5 = 52 , 5\) (cm³)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tam giác là:

\(\left(\right. 3 + 4 + 3 + 4 \left.\right) . 5 = 70\) (cm²)

a) \(x + \frac{1}{2} = \frac{6}{4}\)

\(x = \frac{6}{4} - \frac{1}{2}\)

\(x = \frac{6}{4} - \frac{2}{4} = 1\)

b) \(x^{4} \left(. 3\right)^{5} = 27^{3}\)

\(x^{4} \left(. 3\right)^{5} = \left(\left(\right. 3^{3} \left.\right)\right)^{3}\)

\(x^{4} \left(. 3\right)^{5} = 3^{9}\)

\(x^{4} = 3^{9} : 3^{5} = 3^{4}\)

\(x = 3\)

c) \(\frac{8}{3} . \left(\right. \frac{5}{24} - x \left.\right) = \frac{- 1}{3}\)

\(\frac{5}{24} - x = \frac{- 1}{3} : \frac{8}{3}\)

\(\frac{5}{24} - x = \frac{- 1}{8}\)

\(x = \frac{5}{24} + \frac{1}{8} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}\)

a) \(\frac{5}{4} - \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = 1\)

b) \(\frac{2}{3} . \frac{- 3}{2} + \frac{- 7}{2} . \frac{2}{3}\)

\(= \frac{2}{3} . \left(\right. \frac{- 3}{2} + \frac{- 7}{2} \left.\right)\)

\(=\frac{2}{3}.\left(\right.-5\left.\right)=\frac{- 10}{3}\)

c) \(\left(\right. \frac{1}{5} + \frac{4}{13} \left.\right) + \left(\right. \frac{- 2}{5} + \frac{7}{13} \left.\right) - \left(\right. \frac{4}{5} - \frac{2}{13} \left.\right)\)

\(= \frac{1}{5} + \frac{4}{13} - \frac{2}{5} + \frac{7}{13} - \frac{4}{5} + \frac{2}{13}\)

\(=\left(\right.\frac{1}{5}-\frac{2}{5}-\frac{4}{5}\left.\right)+\left(\right.\frac{4}{13}+\frac{7}{13}+\frac{2}{13}\left.\right)=-1+1=0\)