a, Vì ABCD là hbh nên  AB=DC  ⇒   \(\dfrac{1}{2}\)AB=\(\dfrac{1}{2}\)DC

Do đó AM=BM=DN=CN 

Có AM // NC  1

     AM=NC    2

Từ 1 và 2 suy ra  AMCN là hbh 

Có △ADC vg tại A có AN là đg trung tuyến nên AN=\(\dfrac{1}{2}\)DC=DN=CN

Hình bình hành AMCN có AN=CN nên suy ra AMCN là hình thoi 

⇒ 2 đg chéo AC và MN vg góc với nhau

b, Tứ giác AMCN là hình thoi ( cmt )

Ta có ABCD là hình thoi nên  AC\(\perp\)BD  tại trung điểm mỗi đường nên BD là trung trực của AC

⇒ GA=GC , HA=HC        1  

mà AC là đường  trung trực của BD ⇒  AG=CH ,  CG=CH      2

Từ 1,2 ⇒  AG=GC=CH=HA  nên AGCH là hình thoi

Xét △ABC có 2 đg trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của △ABC

⇒GM=\(\dfrac{GB}{2}\);GN=\(\dfrac{GC}{2}\) ( t/c của trọng tâm △ ) (1)

mà P là  trung điểm của GB nên GP=PB=\(\dfrac{GB}{2}\) (2)

Q là trung điểm của GC nên GQ=QC=\(\dfrac{GC}{2}\) (3)

Từ (1);(2) và (3) ⇒Gm=GP và Gn=GQ ( cmt )

⇒ tứ giác PQMN có 2 đg chéo MP và NQ cắt nhau tại G của mỗi đường nên là hbh

có ABCD là hbh nên 

⇒ AD=BC

mà E;F là trung điểm của AD và BC

⇒AE=DE=BF=CF

tứ giác EBFD có 
BF//ED (BC//AD)

BF=ED ( cmt )

⇒ EBFD là hbh

b, từ O là giao điểm của 2 đg chéo của hbh ABCD  hay giao điểm cuẩC và BD

⇒ O là trung điểm của BD

⇒ O cũng là trung điểm của EF 

⇒ 3 điểm F;O;E thg hàng 

vì ABCD là hình bình hành nên 

⇒ AB=CD ; AB//CD

mà 2 điểm B,C là trung điểm mỗi đường 

⇒ AE=DF; AB=BE=CD=CF

⇒ tứ giác ABFC là hình bình hành 

b, vì hình bình hành AEFD  có 2 đường chéo AF và DE  nên chúng cắt nhau tại trung điểm mỗi đg 

và ta goi điểm giao đó là O

hình bình hành  AEFD có 2 đg chéo là AF và BC 

mà O là trung điểm của AF

⇒ O cũng là trung điểm của BC 

⇒ các đoạn thăng AF ; DE và BC trùng nhau tại trung điểm của mỗi đg

    có ABCD là hbh nên 

⇒  AD // BC ; AD=BC   

⇒  D₁ = B₁  ( so le trong) 

Xét  △AHD  và  △CKB 

    AD=BC ( cmt )

    D₁=B₁  ( cmt ) 

     AHD=CKB=90^o

 ⇒ △AHD=△CKB ( ch - gn ) 

 ⇒  AH=CK 

Mặt khác có  AH  và  CK  cùng vg góc với BD nên AH // CK

 Có  AH//CK

       AH=CK

 ⇒  AHCK là hình bình hành

b,   vì  AHCK là  hình bình hành nên 

      ⇒ HK và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

           mà I là trung điểm  của  HK

      ⇒   I là trung điểm của AC 

          Có ABCD là hình bình hành nên 
      ⇒  2  đường chéo cắt nhau  tại trung điểm mỗi đường 

      ⇒  I là trung điểm  của BD 

      ⇒  IB=ID

    có ABCD là hbh nên 

⇒  AD // BC ; AD=BC   

⇒  D₁ = B₁  ( so le trong) 

Xét  △AHD  và  △CKB 

    AD=BC ( cmt )

    D₁=B₁  ( cmt ) 

     AHD=CKB=90^o

 ⇒ △AHD=△CKB ( ch - gn ) 

 ⇒  AH=CK 

Mặt khác có  AH  và  CK  cùng vg góc với BD nên AH // CK

 Có  AH//CK

       AH=CK

 ⇒  AHCK là hình bình hành

b,   vì  AHCK là  hình bình hành nên 

      ⇒ HK và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

           mà I là trung điểm  của  HK

      ⇒   I là trung điểm của AC 

          Có ABCD là hình bình hành nên 
      ⇒  2  đường chéo cắt nhau  tại trung điểm mỗi đường 

      ⇒  I là trung điểm  của BD 

      ⇒  IB=ID