-10.9940740741

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành chứng minh và so sánh các độ dài theo yêu cầu. a) Chứng minh rằng \triangle BDA \cong \triangle BDH. So sánh độ dài AD và DH. Xét hai tam giác vuông \triangle BDA (vuông tại A) và \triangle BDH (vuông tại H), ta có: \begin{enumerate} \item BD là cạnh chung. \item \angle ABD = \angle HBD (vì BD là tia phân giác của \angle ABC). \end{enumerate} Vậy, \triangle BDA \cong \triangle BDH (cạnh huyền - góc nhọn). Từ sự bằng nhau của hai tam giác, ta suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau: AD = DH So sánh độ dài AD và DC. Ta có DH là đường vuông góc kẻ từ D đến BC. Trong tam giác vuông DHC, cạnh huyền DC luôn lớn hơn cạnh góc vuông DH. DC > DH Mà ta đã chứng minh được AD = DH, suy ra: DC > AD b) Qua C, kẻ tia Cx vuông góc với AC, cắt BD tại M. So sánh độ dài CM và AC. Ta có Cx \perp AC tại C, suy ra \angle ACM = 90^\circ. Xét \triangle ABM và \triangle CBM: \begin{itemize} \item \angle ABM = \angle CBM (vì BM là tia phân giác của \angle ABC). \end{itemize} Xét \triangle ABD và \triangle CBD: Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} Xét \triangle ABM và \triangle CBM. Ta có thể sử dụng định lý hàm số sin trong tam giác. Trong \triangle ABM: \frac{AM}{\sin(\angle ABM)} = \frac{AB}{\sin(\angle AMB)} Trong \triangle CBM: \frac{CM}{\sin(\angle CBM)} = \frac{BC}{\sin(\angle CMB)} Vì \angle ABM = \angle CBM và \angle AMB + \angle CMB = 180^\circ nên \sin(\angle AMB) = \sin(\angle CMB). Do đó, \frac{AM}{AB} = \frac{CM}{BC} \implies \frac{AM}{CM} = \frac{AB}{BC} Từ kết quả ở phần a), ta có AD < DC. Theo tính chất đường phân giác, \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} < 1, suy ra AB < BC. Xét \triangle AMC vuông tại A. Ta có \angle MAC = 90^\circ. Xét \triangle ABC vuông tại A. Ta có \angle BDC là góc ngoài của \triangle ABD, nên \angle BDC = \angle BAD + \angle ABD = 90^\circ + \angle ABD > 90^\circ. Xét \triangle CMD vuông tại C (vì CM \perp AC). Trong \triangle BCM, áp dụng định lý hàm số sin: \frac{CM}{\sin(\angle CBM)} = \frac{BC}{\sin(\angle CMB)} Trong \triangle ABM, áp dụng định lý hàm số sin: \frac{AM}{\sin(\angle ABM)} = \frac{AB}{\sin(\angle AMB)} Vì \angle CBM = \angle ABM và \sin(\angle CMB) = \sin(\angle AMB), ta có: \frac{CM}{BC} = \frac{AM}{AB} \implies \frac{CM}{AM} = \frac{BC}{AB} Xét \triangle AMC vuông tại A. Ta có CM^2 = AM^2 + AC^2. Ta sẽ chứng minh \triangle ABM \sim \triangle CBM là sai vì không có đủ điều kiện về góc hoặc tỉ lệ cạnh. Xét \triangle ABD và \triangle MCD: \angle BAD = \angle MCD = 90^\circ. \angle ADB = \angle MDC (hai góc đối đỉnh). Vậy \triangle ABD \sim \triangle MCD (g.g). Suy ra \frac{AB}{MC} = \frac{AD}{MD} = \frac{BD}{CD}. \implies MC = \frac{AB \cdot CD}{BD}. Xét \triangle ABC vuông tại A. Xét \triangle BHC vuông tại H. \angle HBC chung. \implies \triangle ABC \sim \triangle HBC (g.g). \frac{BA}{BH} = \frac{BC}{BC} = \frac{AC}{HC} \implies BA = BH, AC = HC. Điều này không đúng. Ta có \angle CBD = \angle ABD. Xét \triangle ABC và đường phân giác BD. Theo tính chất đường phân giác: \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}. Xét \triangle ABM và \triangle CBM. Ta có BM là cạnh chung, \angle ABM = \angle CBM. Áp dụng định lý hàm số cosin cho \triangle ABM: AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle ABM) Áp dụng định lý hàm số cosin cho \triangle CBM: CM^2 = BC^2 + BM^2 - 2 \cdot BC \cdot BM \cdot \cos(\angle CBM) Vì \angle ABM = \angle CBM, ta có: CM^2 - AM^2 = BC^2 - AB^2 - 2 \cdot BM \cdot \cos(\angle CBM) (BC - AB) Xét \triangle AMC vuông tại A, AM^2 + AC^2 = CM^2. AC^2 = CM^2 - AM^2 = BC^2 - AB^2 - 2 \cdot BM \cdot \cos(\angle CBM) (BC - AB) Theo định lý Pytago trong \triangle ABC, BC^2 - AB^2 = AC^2. AC^2 = AC^2 - 2 \cdot BM \cdot \cos(\angle CBM) (BC - AB) 0 = - 2 \cdot BM \cdot \cos(\angle CBM) (BC - AB) Vì BM > 0 và \cos(\angle CBM) > 0 (do \angle CBM là góc nhọn trong tam giác vuông), suy ra BC - AB = 0, hay BC = AB. Nếu BC = AB, thì \triangle ABC là tam giác vuông cân tại A. Khi đó, đường phân giác BD cũng là đường trung tuyến, nên AD = DC. Điều này mâu thuẫn với kết quả AD < DC ở phần a). Cách tiếp cận khác cho phần b): Xét \triangle ABD và \triangle MCD. \angle BAD = \angle MCD = 90^\circ. \angle ADB = \angle MDC (đối đỉnh). \implies \triangle ABD \sim \triangle MCD (g.g). \frac{AB}{MC} = \frac{AD}{MD} = \frac{BD}{CD}. MC = \frac{AB \cdot CD}{BD}. Xét \triangle ABC vuông tại A. Xét \triangle BHC vuông tại H. \angle ABC = \angle HBC. \implies \triangle ABC \sim \triangle HBC (g.g). \frac{AB}{HB} = \frac{BC}{BC} = \frac{AC}{HC} \implies AB = HB, AC = HC. Điều này không đúng. Ta có \angle CBD = \angle ABD. Xét \triangle ABC và đường phân giác BD. Theo tính chất đường phân giác: \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}. Kẻ DE \perp AB tại E. Vì DA \perp AB và DH \perp BC, và BD là phân giác \angle ABC, nên DE = DH = DA. Xét \triangle ABM và \triangle CBM. Kẻ đường cao từ M xuống AB và BC. Gọi chân đường cao lần lượt là P và Q. Diện tích \triangle ABM = \frac{1}{2} AB \cdot MP. Diện tích \triangle CBM = \frac{1}{2} BC \cdot MQ. \frac{\text{Diện tích } \triangle ABM}{\text{Diện tích } \triangle CBM} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot MP}{\frac{1}{2} BC \cdot MQ} = \frac{AB \cdot MP}{BC \cdot MQ}. Ta có \frac{AM}{MC} = \frac{\text{Diện tích } \triangle ABM}{\text{Diện tích } \triangle CBM} (chung đường cao từ B). \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}. Xét \triangle AMC vuông tại A. Ta có \tan(\angle AMC) = \frac{AC}{AM}. Xét \triangle ABD \sim \triangle MCD, suy ra \frac{AB}{MC} = \frac{AD}{MD}. Ta có \angle DBC = \angle ABD. Xét \triangle ABM và \triangle CBM. Áp dụng định lý hàm số sin: \frac{AM}{\sin(\angle ABM)} = \frac{AB}{\sin(\angle AMB)} \frac{CM}{\sin(\angle CBM)} = \frac{BC}{\sin(\angle CMB)} \frac{AM}{CM} = \frac{AB}{BC} \cdot \frac{\sin(\angle CMB)}{\sin(\angle AMB)} = \frac{AB}{BC} (vì \sin(\angle CMB) = \sin(\angle AMB)). Xét \triangle AMC vuông tại A. Ta có \frac{AM}{CM} = \cos(\angle AMC). Vậy \cos(\angle AMC) = \frac{AB}{BC}. Xét \triangle ABC vuông tại A. \cos(\angle ABC) = \frac{AB}{BC}. Mà \angle ABC = 2 \angle CBM. Ta có \angle BMC = 180^\circ - (\angle BCM + \angle CBM) = 180^\circ - (90^\circ + \angle CBM) = 90^\circ - \angle CBM. Xét \triangle ABM: \angle AMB = 180^\circ - (\angle BAM + \angle ABM) = 180^\circ - (90^\circ + \angle ABM) = 90^\circ - \angle ABM. Vậy \angle BMC = \angle AMB. Trong \triangle AMC vuông tại A, ta có \sin(\angle AMC) = \frac{AC}{CM}. Ta có \frac{AM}{CM} = \frac{AB}{BC}. \tan(\angle AMC) = \frac{\sin(\angle AMC)}{\cos(\angle AMC)} = \frac{AC/CM}{AM/CM} = \frac{AC}{AM}. Từ \frac{AM}{AB} = \frac{CM}{BC}, suy ra \frac{AM}{CM} = \frac{AB}{BC}. Xét \triangle AMC vuông tại A, \cos(\angle AMC) = \frac{AM}{CM} = \frac{AB}{BC}. Ta có \angle ABC = 2 \angle CBM. Xét \triangle ABC vuông tại A, \cos(\angle ABC) = \frac{AB}{BC}. \cos(2 \angle CBM) = \frac{AB}{BC}. 2 \cos^2(\angle CBM) - 1 = \frac{AB}{BC}. Trong \triangle CBM vuông tại C, \cos(\angle CBM) = \frac{BC}{BM}. 2 \left(\frac{BC}{BM}\right)^2 - 1 = \frac{AB}{BC}. \frac{2 BC^2}{BM^2} = 1 + \frac{AB}{BC} = \frac{BC + AB}{BC}. 2 BC^3 = BM^2 (BC + AB). Xét \triangle AMC vuông tại A. Ta có \angle AMC + \angle ACM + \angle MAC = 180^\circ. \angle AMC + \angle BCM + 90^\circ = 180^\circ. \angle AMC = 90^\circ - \angle BCM. Ta có \angle BDC = 90^\circ + \angle ABD. Trong \triangle MCD vuông tại C, \angle CMD = 90^\circ - \angle MDC = 90^\circ - (90^\circ + \angle ABD) = -\angle ABD. Điều này vô lý. Lý luận lại phần b): Xét \triangle ABD và \triangle MCD: \angle BAD = \angle MCD = 90^\circ. \angle ADB = \angle MDC (đối đỉnh). \implies \triangle ABD \sim \triangle MCD (g.g). Suy ra \frac{AB}{MC} = \frac{AD}{CD}. Từ phần a), ta có \triangle BDA \cong \triangle BDH, suy ra AD = DH. Xét \triangle DHC vuông tại H, DC > DH = AD. Vậy \frac{AD}{CD} < 1, suy ra \frac{AB}{MC} < 1, hay AB < MC. Ta cần so sánh CM và AC. Xét \triangle ABC vuông tại A. Xét \triangle AMC vuông tại A. Ta có \angle ABD = \angle CBD. Xét \triangle ABM và \triangle CBM. Áp dụng định lý hàm số sin: \frac{AM}{\sin(\angle ABM)} = \frac{AB}{\sin(\angle AMB)} \frac{CM}{\sin(\angle CBM)} = \frac{BC}{\sin(\angle CMB)} \frac{AM}{CM} = \frac{AB}{BC} \cdot \frac{\sin(\angle CMB)}{\sin(\angle AMB)} = \frac{AB}{BC}. Xét \triangle AMC vuông tại A, ta có AM^2 + AC^2 = CM^2. (\frac{AB}{BC} CM)^2 + AC^2 = CM^2. AC^2 = CM^2 (1 - \frac{AB^2}{BC^2}) = CM^2 \frac{BC^2 - AB^2}{BC^2} = CM^2 \frac{AC^2}{BC^2}. 1 = \frac{CM^2}{BC^2}, suy ra CM^2 = BC^2, hay CM = BC. Vậy CM = BC. Final Answer: The final answer is \boxed{CM = BC}

15780

Giải bài toán: Bước 1: Gọi ẩn Gọi vận tốc ô tô lúc về là x (km/h). Vận tốc lúc đi là 6x/5 (km/h). Bước 2: Viết biểu thức thời gian Thời gian đi: 100 km / (6x/5) = 500 / 6x (giờ). Thời gian về: 100 km / x = 100 / x (giờ). Thời gian nghỉ: 20 phút = 1/3 giờ. Tổng thời gian đi + về + nghỉ = 4 giờ. Ta có phương trình: (500/6x) + (100 / x) + 1/3 = 4 Bước 3: Giải phương trình

Đưa các hạng tử về cùng mẫu: (500/6 * x) + (100 / x) = 4 - 1/3 = 11/3 Quy đồng mẫu: Nhân chéo: 11003 11 * 6x (500/6 * x) + (600/6 * x) = 1100/6 * x Rightarrow 1100/6 * x = 11/3 Vận tốc lúc di = 6x / 5 =(6^ * 50)/5=60 Rightarrow 3300 = 66x Rightarrow x = 3300/66 = 50 Bước 4: Tính vận tốc lúc đi km/h.

Kết luận: Vận tốc lúc đi: 60 km/h Vận tốc lúc về: 50 km/h

Hường

Huỳnh

Huềnh

Hưởng

Hưỡng

Hoàng

1. Em nghĩ hoạt động hỗ trợ các bạn học sinh có hoàn cảnh khó khăn là rất ý nghĩa, vì nó giúp các bạn có thêm động lực để tiếp tục học tập. 2. Dù gia đình em không khá giả, em vẫn sẵn lòng giúp đỡ bạn bè, vì em hiểu cảm giác thiếu thốn sẽ ảnh hưởng lớn đến việc học. 3. Hoạt động này không chỉ giúp các bạn vượt qua khó khăn, mà còn lan tỏa yêu thương và tinh thần tương thân tương ái. 4. Em thấy việc tổ chức quyên góp sách vở rất thiết thực, bởi nó giúp các bạn không phải lo lắng về dụng cụ học tập. 5. Em mong ngày càng có nhiều người tham gia các hoạt động thiện nguyện, để không ai bị bỏ lại phía sau trên con đường học vấn.

6. Tuy em còn nhỏ, nhưng em nghĩ mỗi người đều có thể đóng góp một phần, dù là nhỏ bé. 7. Việc hỗ trợ bạn bè khó khăn khiến em cảm thấy mình sống có ích hơn, và điều đó thật sự đáng quý. 8. Nếu em có cơ hội, em sẽ tham gia các nhóm thiện nguyện, vì em muốn được chia sẻ tình thương với các bạn. 9 . Những món quà tuy nhỏ, nhưng nếu xuất phát từ tấm lòng, chúng sẽ có giá trị rất lớn. 10. Em nghĩ rằng nhà trường nên tổ chức thêm nhiều hoạt động gây quỹ, để giúp đỡ được nhiều bạn hơn nữa. 11. Em rất khâm phục những bạn vượt khó học giỏi, vì các bạn không chỉ chăm chỉ mà còn rất nghị lực.

12. Hoạt động hỗ trợ bạn nghèo không chỉ là hành động đẹp, mà còn là bài học đạo đức sâu sắc cho tất cả học sinh.