Giải:

Gọi A_n là số tiền còn nợ sau tháng thứ n. Ta có:

* A_0 = 1.000.000.000

* A_1 = A_0(1 + 0,005) - 30.000.000

* A_2 = A_1(1 + 0,005) - 30.000.000

* ...

* A_n = A_{n-1}(1 + 0,005) - 30.000.000

Đây là một dãy số truy hồi. Để tìm số tháng anh Nam trả hết nợ, ta cần tìm n sao cho A_n \le 0.

Ta có thể viết lại công thức truy hồi như sau:

A_n = A_0(1,005)^n - 30.000.000 \cdot \frac{1,005^n - 1}{0,005}

Thay A_0 = 1.000.000.000 vào, ta được:

A_n = 1.000.000.000(1,005)^n - 6.000.000.000(1,005^n - 1)

Để tìm n sao cho A_n \le 0, ta giải bất phương trình:

1.000.000.000(1,005)^n - 6.000.000.000(1,005^n - 1) \le 0

(1.000.000.000 - 6.000.000.000)(1,005)^n \le -6.000.000.000

-5.000.000.000(1,005)^n \le -6.000.000.000

(1,005)^n \ge \frac{6}{5}

n \ge \log_{1,005}(\frac{6}{5})

n \ge 37,16

Vậy sau 38 tháng anh Nam sẽ trả hết nợ.