Ta có đường tròn (O;R) và hai đường kính vuông góc AB, CD.

Trên bán kính AO, lấy đoạn AI = (2/3)AO.

Vẽ tia CI cắt (O) tại E.

Ta có ∆AOI là tam giác vuông tại O, nên AI^2 + IO^2 = AO^2.

Mà AI = (2/3)AO, nên IO = √(AO^2 - AI^2) = √(AO^2 - (2/3)AO)^2 = (√5/3)AO.

Ta cũng có ∆COE là tam giác vuông tại O, nên CE^2 + OE^2 = CO^2.

Mà CO = R, OE = IO = (√5/3)AO = (√5/3)R.

Thay vào, ta có CE^2 + (√5/3)R)^2 = R^2.

CE^2 = R^2 - (√5/3)R)^2 = (4/9)R^2.

CE = (√(4/9)R^2) = (2/3)R.

Vậy R = (3/2)CE.

Đáp án: R = (3/2)CE.

Để chứng minh, ta sử dụng các tính chất của đường tròn nội tiếp và tam giác vuông.

a) Ta có đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với BC tại D.

Do đó, ta có ID ⊥ BC và ID = r (bán kính đường tròn nội tiếp).

Ta cũng có AD ⊥ BC và AD = r.

Từ đó, ta có BD = BC - CD = BC - (AB - AD) = BC + AD - AB.

Mà AD = r = (AB + AC - BC) / 2 (công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp).

Thay vào, ta có BD = BC + (AB + AC - BC) / 2 - AB = (2BC + AB - AC) / 2.

Vậy BD = (2BC + AB - AC) / 2.

Vì ΔABC vuông tại A nên ta có:

BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225

BC = √225 = 15 cm

Ta có công thức tính độ dài IG của tam giác:

IG = (1/3) × (r × R / (R - r))

trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Ta có r = (AB + AC - BC) / 2 = (9 + 12 - 15) / 2 = 3 cm

Và R = BC / 2 = 15 / 2 = 7,5 cm

Thay các giá trị vào công thức trên, ta có:

IG = (1/3) × (3 × 7,5 / (7,5 - 3)) = (1/3) × (22,5 / 4,5) = (1/3) × 5 = 5/3 cm

Đáp án: IG = 5/3 cm.

Vì ΔABC vuông tại A nên đường kính của đường tròn ngoại tiếp ΔABC chính là cạnh huyền BC.

Ta có AB = 6 cm, AC = 8 cm nên theo định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

BC = √100 = 10 cm

Vậy đường kính của đường tròn ngoại tiếp ΔABC là 10 cm, nên bán kính r là:

r = 10/2 = 5 cm

Đáp án: r = 5 cm.