Gọi phương trình chính tắc của elip \(\left(\right. E \left.\right)\) là: \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 , a > b > 0\).

Do elip \(\left(\right. E \left.\right)\) đi qua hai điểm \(M \left(\right. 2 ; 2 \sqrt{6} \left.\right)\) và \(N \left(\right. 4 ; - \sqrt{15} \left.\right)\) nên ta có

+ Phương trình chính tắc của \(\left(\right. E \left.\right) : \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1\).

+ Tiêu điểm \(F_{1} \left(\right. - 3 ; 0 \left.\right) , F_{2} \left(\right. 3 ; 0 \left.\right)\).

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Do \(M\) nhìn \(F_{1} , F_{2}\) dưới một góc vuông nên \(M\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. C \left.\right)\) nhận \(F_{1} F_{2}\) là đường kính.

Suy ra \(\left(\right. C \left.\right)\) có tâm \(O\) và bán kính \(R = \frac{F_{1} F_{2}}{2} = \sqrt{5} .\)

Do đó tọa độ \(M\) là nghiệm của hệ phương trình 

Giải hệ \(\left(\right. I \left.\right)\) ta được: \(M_{1} \left(\right. \frac{3}{\sqrt{5}} ; \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right) ; M_{2} \left(\right. - \frac{3}{\sqrt{5}} ; \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right) ; M_{3} \left(\right. \frac{3}{\sqrt{5}} ; - \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right) ; M_{4} \left(\right. - \frac{3}{\sqrt{5}} ; - \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right)\)

Theo đề ra ta có hệ : 

 \(\left{\right. \frac{4}{a^{2}} = 1 \\ \frac{1}{a^{2}} + \frac{\frac{3}{4}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow \left{\right. a = 2 \\ \frac{\frac{3}{4}}{b^{2}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \left{\right. a = 2 \\ b = 1\)

Vậy (a,b) = (2,1) 

a) Đường tròn \(\left(\right. C \left.\right)\) đường kính \(M N\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(M N\) và bán kính \(R = \frac{M N}{2} .\)

Ta có: \(\left{\right. & x_{I} = \frac{x_{M} + x_{N}}{2} = \frac{2 + \left(\right. - 2 \left.\right)}{2} = 0 \\ & y_{I} = \frac{y_{M} + y_{N}}{2} = \frac{- 2 + 2}{2} = 0\).

Vậy \(I \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\).

Ta có: \(R = \frac{M N}{2} = \frac{\sqrt{\left(\left(\right. - 2 - 2 \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. 2 + 2 \left.\right)\right)^{2}}}{2} = 2 \sqrt{2} .\)

Vậy phương trình đường tròn \(\left(\right. C \left.\right) : x^{2} + y^{2} = 8.\)

b) Giao điểm của \(\left(\right. C \left.\right)\) và \(O x\) là \(A \left(\right. 2 \sqrt{2} ; 0 \left.\right)\) và \(B \left(\right. - 2 \sqrt{2} ; 0 \left.\right)\).

Gọi phương trình chính tắc của elip \(\left(\right. E \left.\right)\) là: \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) với \(a > b > 0\).

Độ dài trục lớn của elip bằng \(8\) nên \(2 a = 8 \Rightarrow a = 4\).

\(A \left(\right. 2 \sqrt{2} ; 0 \left.\right)\) và \(B \left(\right. - 2 \sqrt{2} ; 0 \left.\right)\) là các tiêu điểm của elip nên \(c = 2 \sqrt{2}\).

Do đó \(b^{2} = a^{2} - c^{2} = 16 - 8 = 8\).

Vậy phương trình elip là \(\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1\)

a) Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\left(\right. E \left.\right) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) với \(a > b > 0\).

Vì \(M \left(\right. \frac{3}{\sqrt{5}} ; \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right) \in \left(\right. E \left.\right)\) nên \(\frac{9}{5 a^{2}} + \frac{16}{5 b^{2}} = 1 \left(\right. * \left.\right)\).

Ta có \(\hat{F_{1} M F_{2}} = 9 0^{\circ} \&\text{nbsp}; \Rightarrow O M = \frac{F_{1} F_{2}}{2} = c \Rightarrow c^{2} = O M^{2} = \frac{9}{5} + \frac{16}{5} = 5\)

\(\Rightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2} = b^{2} + 5\).

Do đó \(\left(\right. * \left.\right) \Leftrightarrow \frac{9}{5 \left(\right. b^{2} + 5 \left.\right)} + \frac{16}{5 b^{2}} = 1 \Leftrightarrow 9 b^{2} + 16 b^{2} + 80 = 5 b^{2} \left(\right. b^{2} + 5 \left.\right)\)

\(\Leftrightarrow b^{4} = 16 \Leftrightarrow b^{2} = 4 \Rightarrow a^{2} = 9\).

Vậy phương trình chính tắc của elip là \(\left(\right. E \left.\right) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1\).

b) Gọi phương trình chính tắc của \(\left(\right. E \left.\right)\) là: \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) với \(a > b > 0\), \(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} > 0\).

Độ dài trục lớn là \(2 a\), các đỉnh trên trục nhỏ là \(B_{1} \left(\right. 0 ; b \left.\right) , B_{2} \left(\right. 0 ; - b \left.\right)\) và các tiêu điểm \(F_{1} \left(\right. c ; 0 \left.\right)\), \(F_{2} \left(\right. - c ; 0 \left.\right)\).

Do độ dài trục lớn của \(\left(\right. E \left.\right)\) bằng \(4 \sqrt{2}\) nên: \(2 a = 4 \sqrt{2} \Leftrightarrow a = 2 \sqrt{2}\).

Do các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của \(\left(\right. E \left.\right)\) cùng nằm trên một đường tròn nên ta có: \(b = c \Leftrightarrow b = \sqrt{a^{2} - b^{2}}\).

Thay \(a = 2 \sqrt{2}\) vào đẳng thức trên ta được \(b = \sqrt{\left(\left(\right. 2 \sqrt{2} \left.\right)\right)^{2} - b^{2}}\).

Do \(b > 0\) nên ta được \(b = 2\).

Vậy phương trình chính tắc của \(\left(\right. E \left.\right)\) là: \(\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1\)

Elip có hai tiêu điểm là \(P\), \(Q\) và có chu vi của hình chữ nhật cơ sở bằng \(32\) nên ta có \(\left{\right. & a^{2} - b^{2} = c^{2} = 4^{2} = 16 \\ & 2 \left(\right. 2 a + 2 b \left.\right) = 32 \Leftrightarrow \left{\right. & a^{2} - b^{2} = 16 \\ & a + b = 8\)

\(\Leftrightarrow \left{\right. & a = 8 - b \\ & \left(\left(\right. 8 - b \left.\right)\right)^{2} - b^{2} = 16 \Leftrightarrow \left{\right. & a = 5 \\ & b = 3\).

Vậy phương trình chính tắc của Elip là \(\frac{x^{2}}{5^{2}} + \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1\). 

Ta có \(F_{1} \left(\right. - \sqrt{3} ; 0 \left.\right)\), \(F_{2} \left(\right. \sqrt{3} ; 0 \left.\right)\).

Gọi \(M \left(\right. x ; y \left.\right)\), ta có \(M \in \left(\right. E \left.\right) \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\).

Mặt khác ta có \(\overset{\rightarrow}{M F_{1}} \left(\right. - \sqrt{3} - x ; - y \left.\right) ; \overset{\rightarrow}{M F_{2}} \left(\right. \sqrt{3} - x ; - y \left.\right)\).

Do \(M F_{1} \bot M F_{2}\) nên \(\overset{\rightarrow}{M F_{1}} . \overset{\rightarrow}{M F_{2}} = 0 \Leftrightarrow \left(\right. x - \sqrt{3} \left.\right) \left(\right. x + \sqrt{3} \left.\right) + y^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 3\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\).

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\) và \(\left(\right. 2 \left.\right)\) ta có \(\left{\right. & \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 \\ & x^{2} + y^{2} = 3 .\)

Suy ra \(M \left(\right. \frac{2 \sqrt{6}}{3} ; \frac{\sqrt{3}}{3} \left.\right)\) hoặc \(M \left(\right. \frac{2 \sqrt{6}}{3} ; - \frac{\sqrt{3}}{3} \left.\right)\) hoặc \(M \left(\right. - \frac{2 \sqrt{6}}{3} ; \frac{\sqrt{3}}{3} \left.\right)\) hoặc \(M \left(\right. - \frac{2 \sqrt{6}}{3} ; - \frac{\sqrt{3}}{3} \left.\right) .\)

Vậy \(M \left(F_{1}\right)^{2} + M \left(F_{2}\right)^{2} = 2 \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) + 6 = 12.\)

\(S_{\Delta M F_{1} F_{2}} = \frac{1}{2} M F_{1} . M F_{2} = \frac{1}{2} . \sqrt{\left(\left(\right. x + \sqrt{3} \left.\right)\right)^{2} + y^{2}} . \sqrt{\left(\left(\right. x - \sqrt{3} \left.\right)\right)^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{\left(\left(\right. x^{2} - 3 \left.\right)\right)^{2} + y^{2} \left(\right. x^{2} + 6 \left.\right) + y^{4}} = 1.\)

Có \(c=\sqrt{a^{2} - b^{2}}=\sqrt{11}\)

Tiêu điểm \(F_{1} \left(\right. \sqrt{11} , 0 \left.\right) ; F_{2} \left(\right. - \sqrt{11} , 0 \left.\right)\)

Tiêu cự \(F_{1} F_{2} = 2 \sqrt{11}\)

Trục lớn : 2a = 12

Trục bé 2b = 10

Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{11}}{6}\)