Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức tính thời gian và vận tốc.

Gọi quãng đường từ $A$ đến $B$ là $d$ (km).

• Thời gian đi từ $A$ đến $B$ với vận tốc $15$ km/h là:

  t1=d15 giờ.t_1 = \frac{d}{15} \, \text{giờ}.t1​=15d​giờ.

• Thời gian về từ $B$ đến $A$ với vận tốc $12$ km/h là:

  t2=d12 giờ.t_2 = \frac{d}{12} \, \text{giờ}.t2​=12d​giờ.

Theo đề bài, thời gian về nhiều hơn thời gian đi 45 phút, tức là:

t2−t1=4560 giờ=34 giờ.t_2 - t_1 = \frac{45}{60} \, \text{giờ} = \frac{3}{4} \, \text{giờ}.t2​−t1​=6045​giờ=43​giờ.

Thay các biểu thức cho t1t_1t1​ và t2t_2t2​ vào phương trình trên:

d12−d15=34.\frac{d}{12} - \frac{d}{15} = \frac{3}{4}.12d​−15d​=43​.

Để giải phương trình này, ta cần tìm mẫu số chung của $12$ và $15$, đó là $60$. Ta nhân cả hai vế của phương trình với $60$ để loại bỏ mẫu số:

60(d12−d15)=60×34.60 \left( \frac{d}{12} - \frac{d}{15} \right) = 60 \times \frac{3}{4}.60(12d​−15d​)=60×43​.

Kết quả là:

$$5d-4d=45,$$ $$d=45.$$

Vậy quãng đường $AB$ là 45 km.

a) Chứng minh $\Delta KNM\sim \Delta MNP$ và $\Delta KNM\sim \Delta KMP$

Chứng minh $\Delta KNM\sim \Delta MNP$:

Ta có tam giác vuông $\Delta MNP$ vuông tại $M$, và đường cao $MK$ hạ từ $M$ xuống cạnh $NP$. Do đó, ta có các tam giác vuông sau:

• $\Delta KNM$ vuông tại $K$.

• $\Delta MNP$ vuông tại $M$.

Các tam giác vuông $\Delta KNM$ và $\Delta MNP$ có các góc vuông chung tại $M$ và góc $\angle KNM=\angle MNP$ (vì cùng là góc trong cùng một góc vuông tại $M$). Vậy, theo tiêu chuẩn góc - góc (AA), ta có:

$$\Delta KNM\sim \Delta MNP$$

Chứng minh $\Delta KNM\sim \Delta KMP$:

Tương tự, ta có tam giác vuông $\Delta KMP$ vuông tại $K$ và $\Delta KNM$ vuông tại $K$. Các góc vuông tại $K$ của hai tam giác này cho thấy các góc vuông chung tại $K$. Hơn nữa, góc $\angle KNP=\angle KMP$ (do góc này được tạo thành cùng một đường thẳng). Vậy, theo tiêu chuẩn góc - góc (AA), ta có:

$$\Delta KNM\sim \Delta KMP$$

b) Chứng minh MK2=NK⋅KPMK^2 = NK \cdot KPMK2=NK⋅KP

Theo tính chất của các tam giác vuông có đường cao, ta có định lý về tích của các đoạn của đường cao trong tam giác vuông: nếu $MK$ là đường cao trong tam giác vuông $\Delta MNP$, thì ta có:

MK2=NK⋅KPMK^2 = NK \cdot KPMK2=NK⋅KP

Định lý này được gọi là Định lý về đường cao trong tam giác vuông. Chứng minh có thể sử dụng các tỷ số giữa các đoạn thẳng trong các tam giác vuông đồng dạng $\Delta KNM\sim \Delta MNP$ và $\Delta KNM\sim \Delta KMP$, từ đó ta sẽ rút ra được:

MK2=NK⋅KPMK^2 = NK \cdot KPMK2=NK⋅KP

c) Tính $MK$ và diện tích SΔMNPS_{\Delta MNP}SΔMNP​

Biết rằng $NK=4$ cm và $KP=9$ cm, ta có thể tính $MK$ từ công thức trong phần b:

MK2=NK⋅KP=4⋅9=36MK^2 = NK \cdot KP = 4 \cdot 9 = 36MK2=NK⋅KP=4⋅9=36

Vậy:

MK=36=6 cmMK = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}MK=36​=6 cm

Để tính diện tích tam giác $\Delta MNP$, ta sử dụng công thức diện tích tam giác vuông:

SΔMNP=12⋅cạnh goˊc vuoˆng⋅cạnh goˊc vuoˆngS_{\Delta MNP} = \frac{1}{2} \cdot \text{cạnh góc vuông} \cdot \text{cạnh góc vuông}SΔMNP​=21​⋅cạnh goˊc vuoˆng⋅cạnh goˊc vuoˆng

Trong đó, hai cạnh góc vuông là $MN$ và $MP$. Ta biết rằng $\Delta MNP$ vuông tại $M$, và $MK$ là đường cao, vì vậy:

SΔMNP=12⋅MN⋅MPS_{\Delta MNP} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot MPSΔMNP​=21​⋅MN⋅MP

Vì $MK$ là đường cao, ta có thể sử dụng công thức sau cho diện tích của tam giác vuông với đường cao:

SΔMNP=12⋅NK⋅KP=12⋅4⋅9=18 cm2S_{\Delta MNP} = \frac{1}{2} \cdot NK \cdot KP = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 = 18 \text{ cm}^2SΔMNP​=21​⋅NK⋅KP=21​⋅4⋅9=18 cm2

a) Rút gọn biểu thức AAA

Trước tiên, ta phân tích tử số và mẫu số:

• Tử số: x2−1x^2 - 1x2−1 là một hằng đẳng thức, có thể viết lại dưới dạng (x−1)(x+1)(x - 1)(x + 1)(x−1)(x+1).
• Mẫu số: x2−2x+1x^2 - 2x + 1x2−2x+1 là một hằng đẳng thức, có thể viết lại dưới dạng (x−1)2(x - 1)^2(x−1)2.

Vậy biểu thức AAA trở thành:

A=(x−1)(x+1)(x−1)2A = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2}A=(x−1)2(x−1)(x+1)​

Vì x≠1x \neq 1x=1 (theo điều kiện đề bài), ta có thể rút gọn được (x−1)(x - 1)(x−1) trong tử và mẫu số:

A=x+1x−1A = \frac{x + 1}{x - 1}A=x−1x+1​

b) Tính giá trị của AAA khi x=3x = 3x=3 và x=−2x = -2x=−2

1. Khi x=3x = 3x=3:

A=x+1x−1=3+13−1=42=2A = \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2A=x−1x+1​=3−13+1​=24​=2

1. Khi x=−2x = -2x=−2:

A=x+1x−1=−2+1−2−1=−1−3=13A = \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{-2 + 1}{-2 - 1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}A=x−1x+1​=−2−1−2+1​=−3−1​=31​

Vậy, giá trị của AAA khi x=3x = 3x=3 là 222 và khi x=−2x = -2x=−2 là 13\frac{1}{3}31​.

c) Tìm x∈Zx \in \mathbb{Z}x∈Z để biểu thức AAA nhận giá trị nguyên

Ta cần tìm x∈Zx \in \mathbb{Z}x∈Z sao cho biểu thức A=x+1x−1A = \frac{x + 1}{x - 1}A=x−1x+1​ là một số nguyên.

Để AAA là một số nguyên, x+1x−1\frac{x + 1}{x - 1}x−1x+1​ phải là một số nguyên. Ta sẽ xét điều kiện này:

x+1x−1=kvớik∈Z\frac{x + 1}{x - 1} = k \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}x−1x+1​=kvớik∈Z

Khi đó, ta có phương trình:

x+1=k(x−1)x + 1 = k(x - 1)x+1=k(x−1)

Giải phương trình này:

x+1=kx−kx + 1 = kx - kx+1=kx−k x−kx=−k−1x - kx = -k - 1x−kx=−k−1 x(1−k)=−k−1x(1 - k) = -k - 1x(1−k)=−k−1 x=−k−11−kx = \frac{-k - 1}{1 - k}x=1−k−k−1​

Để x∈Zx \in \mathbb{Z}x∈Z, mẫu số 1−k1 - k1−k phải chia hết cho tử số −k−1-k - 1−k−1.

Ta sẽ thử các giá trị nguyên của kkk:

• Khi k=0k = 0k=0, ta có:
  x=−0−11−0=−11=−1x = \frac{-0 - 1}{1 - 0} = \frac{-1}{1} = -1x=1−0−0−1​=1−1​=−1
• Khi k=1k = 1k=1, ta có:
  x=−1−11−1(phương trıˋnh voˆ nghı˜a, khoˆng coˊ nghiệm)x = \frac{-1 - 1}{1 - 1} \quad \text{(phương trình vô nghĩa, không có nghiệm)}x=1−1−1−1​(phương trıˋnh voˆ nghı˜a, khoˆng coˊ nghiệm)
• Khi k=−1k = -1k=−1, ta có:
  x=−(−1)−11−(−1)=1−12=0x = \frac{-(-1) - 1}{1 - (-1)} = \frac{1 - 1}{2} = 0x=1−(−1)−(−1)−1​=21−1​=0

Vậy, các giá trị nguyên của xxx thỏa mãn là x=−1x = -1x=−1 và x=0x = 0x=0.

\(a,7x+2=0\)

   \(7x\)        \(=-2\)

     \(x\)        \(=\dfrac{-2}{7}\)

  Vậy \(x\)\(=\dfrac{-2}{7}\)

  \(b,18-5x=7+3x\)

   \(-5x-3x=7-18\)

            \(-8x=-11\)

                 \(x=\dfrac{11}{8}\)

vậy​\(x=\dfrac{11}{8}\)

\(x=\dfrac{11}{8}\)​\(x=\dfrac{11}{8}\)