Gọi \(D\) là giao điểm của \(A G\) và \(B C \Rightarrow D B = D C\).

Ta có \(B G = \frac{2}{3} B E\); \(C G = \frac{2}{3} C F\) (tính chất trọng tâm).

Vì \(B E = C F\) nên \(B G = C G \Rightarrow \triangle B C G\) cân tại \(G\)

\(\Rightarrow \hat{G C B} = \hat{G B C}\)

Xét \(\triangle B F C\) và \(\triangle C E B\) có \(C F = B E\) (giả thiết);

\(\hat{G C B} = \hat{G B C}\) (chứng minh trên);

\(B C\) là cạnh chung.

Do đó \(\triangle B F C = \triangle C E B\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \hat{F B C} = \hat{E C B}\) (hai góc tưong ứng)

\(\Rightarrow \triangle A B C\) cân tại \(A \Rightarrow A B = A C\).

Từ đó suy ra \(\triangle A B D = \triangle A C D\) (c.c.c)

\(\Rightarrow \hat{A D B} = \hat{A D C}\). (hai góc tương ứng)

Mà \(\hat{A D B} + \hat{A D C} = 18 0^{\circ} \Rightarrow \hat{A D B} = \hat{A D C} = 9 0^{\circ} \Rightarrow A D \bot B C\) hay \(A G \bot B C\).

a) Ta có \(D M = D G \Rightarrow G M = 2 G D\).

Ta lại có \(G\) là giao điểm của \(B D\) và \(C E \Rightarrow G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\)

\(\Rightarrow B G = 2 G D\).

Suy ra \(B G = G M\).

Chứng minh tương tự ta được \(C G = G N\).

b) Xét tam giác \(G M N\) và tam giác \(G B C\) có \(G M = G B\) (chứng minh trên);

\(\hat{M G N} = \hat{B G C}\) (hai góc đối đỉnh);

\(G N = G C\) (chứng minh trên).

Do đó \(\triangle G M N = \triangle G B C\) (c.g.c)

\(\Rightarrow M N = B C\) (hai cạnh tương ứng).

Theo chứng minh trên \(\triangle G M N = \triangle G B C \Rightarrow \hat{N M G} = \hat{C B G}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\hat{N M G}\) và \(\hat{C B G}\) ờ vị trí so le trong nên \(M N\) // \(B C\).

a) Ta có \(B F = 2 B E \Rightarrow B E = E F\).

Mà \(B E = 2 E D\) nên \(E F = 2 E D \Rightarrow D\) là trung điểm của \(E F \Rightarrow C D\) là đường trung tuyến của tam giác \(E F C\).

Vì \(K\) là trung điểm của \(C F\) nên \(E K\) là đường trung tuyến của \(\triangle E F C\).

\(\triangle E F C\) có hai đường trung tuyến \(C D\) và \(E K\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\triangle E F C\).

b) Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\) nên \(\frac{G C}{D C} = \frac{2}{3}\) và \(G E = \frac{2}{3} E K\)

\(\Rightarrow G K = \frac{1}{3} E K \Rightarrow G E = 2 G K \Rightarrow \frac{G E}{G K} = 2\).

a) Xét tam giác \(A B D\) có \(C\) là trung điểm của cạnh \(A D \Rightarrow B C\) là trung tuyến của tam giác \(A B D\).

Hơn nữa \(G \in B C\) và \(G B = 2 G C \Rightarrow G B = \frac{2}{3} B C \Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác \(A B D\).

Lại có \(A E\) là đường trung tuyến của tam giác \(A B D\) nên \(A , G , E\) thẳng hàng.

b) Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B D \Rightarrow D G\) là đường trung tuyến của tam giác này.

Suy ra \(D G\) đi qua trung điểm của cạnh \(A B\) (điều phài chứng minh).

a) Ta có \(\triangle A B C\) cân tại \(A \Rightarrow A B = A C\) mà \(A B = 2 B E\); \(A C = 2 C D\) (vì \(E , D\) theo thứ tự là trung điểm của \(A B\), \(A C \left.\right)\).

Do đó ta có \(2 B E = 2 C D\) hay \(B E = C D\).

Xét \(\triangle B C E\) và \(\triangle C B D\) có \(B E = C D\) (chứng minh trên);

\(\hat{E B C} = \hat{D C B}\);

\(B C\) là cạnh chung.

Do đó \(\triangle B C E = \triangle C B D\) (c.g.c)

\(\Rightarrow C E = B D\) (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C\) nên \(B G = \frac{2}{3} B D\) và \(C G = \frac{2}{3} C E\) (tính chất trọng tâm).

Mà \(C E = B D\) (phần a) nên \(\frac{2}{3} C E = \frac{2}{3} B D\) hay \(C G = B G\).

Vậy tam giác \(G B C\) cân tại \(G\).

c) Ta có \(G B = \frac{2}{3} B D \Rightarrow G D = \frac{1}{3} B D \Rightarrow G B = 2 G D \Rightarrow G D = \frac{1}{2} G B\)

Chứng minh tương tự, ta có \(G E = \frac{1}{2} G C\).

Do đó \(G D + G E = \frac{1}{2} G B + \frac{1}{2} G C = \frac{1}{2} \left(\right. G B + G C \left.\right)\).

Mà \(G B + G C > B C\) (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại).

Do đó \(G D + G E > \frac{1}{2} B C\) (điều phải chứng minh).

Xét tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\).

Suy ra \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C\)

\(\Rightarrow B G = \frac{2}{3} B M\); \(C G = \frac{2}{3} C N\)

\(\Rightarrow B M = \frac{3}{2} B G\); \(C N = \frac{3}{2} C G\).

Do đó ta phải chứng minh \(\frac{3}{2} B G + \frac{3}{2} C G > \frac{3}{2} B C\) hay \(B G + C G > B C\). (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy \(B M + C N > \frac{3}{2} B C\). (điều phải chứng minh).

Kí hiệu A, B là vị trí ông A và ông B đang đứng. C là vị trí bộ phát wifi.

Trong \(\Delta A B C\) có \(B C > A B - A C = 55 - 20 = 35\).

Suy ra khoảng cách từ ông B đến vị trí bộ phát wifi lớn hơn bán kính hoạt động của bộ phát. Do đó ông B không nhận được sóng wifi.

Khoảng cách từ ông A đến bộ phát wifi là \(20\) m(nhỏ hơn bán kính hoạt động của bộ phát) nên ông A nhân được sóng wifi.

A,Xét \(\triangle A D M\) và \(\triangle A B M\) có \(A D = A B\) (giả thiết); \(D M = B M\) (giả thiết \(M\) là trung điểm của \(B D\) ); \(A M\) chung. Suy ra \(\triangle A D M = \triangle A B M\) (c.c.c).

Do đó \(\hat{D A M} = \hat{B A M}\) (góc tương ứng). Vì vậy \(A M\) là tia phân giác góc \(A\) của tam giác \(A B C\).

B,Theo chứng minh trên, có \(A M\) là tia phân giác góc \(A\). Lại có \(E\) là giao điểm của tia phân giác góc \(B\) với tia \(A E\) (giả thiết).

Như vậy \(E\) là giao điểm của tia phân giác góc \(A\) với tia phân giác góc \(B\). Suy ra \(C E\) là phân giác góc \(C\) (theo định lí: ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm).

Từ đó \(\hat{A C E} = \frac{1}{2} \hat{C} = 1 5^{\circ}\).

A,

Sau 1 năm, người đó nhận được (nếu rút cả gốc lẫn lãi)

\(A = 3 x + 300\) (triệu đồng)

b) 

Sau 2 năm, người đó nhận được (nếu rút cả gốc lẫn lãi)

\(B = 0 , 03 x^{2} + 6 x + 300\) (triệu đồng)

C,

Sau 3 năm, người đó nhận được (nếu rút cả gốc lẫn lãi)

\(C = 0 , 0003 x^{3} + 0 , 09 x^{2} + 9 x + 300\) (triệu đồng)

d,

Nếu lãi suất năm của ngân hàng là \(6 \%\) thì \(x = 6\). Số tiền người đó nhận được khi rút cả gốc lẫn lãi sau 1 năm là giá trị của \(A\) tại \(x = 6\) và bằng \(318\) triệu.

Tương tự, nếu rút cả gốc và lãi sau 2 năm thì người đó được nhận \(337 , 08\) triệu đồng.

Nếu rút cả gốc và lãi sau 3 năm thì người đó được nhận \(357 , 3048\) triệu đồng.

a) Biểu đồ đã sử dụng là biểu đồ cột kép.

b) -Đối tượng thống kê là vùng ĐBSH, vùng ĐBSCL, quý 1, quý 2, quý 3 , quý 4.

-Tiêu chí thống kê là số tiền công ty An Bình đã đầu tư.

c) Công ty An Bình đâu tư vào vùng ĐBSH và vùng ĐBSCL năm 2021.

d)

Tổng mức đầu tư của công ty vào cả hai vùng cao nhất trong quý \(1\).

e) Năm 2021, tổng mức đầu tư của công ty vào ĐBSH là \(62 + 55 + 35 + 61 = 213\) tỷ đồng; tổng mức đầu tư của công ty vào ĐBSCL là \(78 + 45 + 25 + 35 = 183\) tỉ đồng. Công ty đã đầu tư vào ĐBSH nhiều hơn.