\(=3^2.3^n-2^2.2^n+3^n-2^n=10.3^n-5.2^n=\)

\(=10.3^n-10.2^{n-1}=10.\left(3^n-2^n\right)⋮10\)

Theo đề bài

\(13.\overline{c2d}=\overline{2ab1}\)

Tích có chữ só hàng đơn vị là 1 => d=7

\(\Rightarrow13.\overline{c27}=\overline{2ab1}\)

\(\Leftrightarrow1300.c+13.27=2001+10.\overline{ab}\)

\(\Leftrightarrow1300.c=10.\overline{ab}+1650\)

\(\Leftrightarrow130.c=\overline{ab}+165\)

\(130.c⋮10\Rightarrow\overline{ab}+165⋮10\Rightarrow b=5\)

\(\Rightarrow130.c=\overline{a5}+165\)

\(\Rightarrow130.c=10.a+5+165=10.a+170\)

\(\Leftrightarrow13.c=a+17\) (1)

Ta có

\(0\le a\le9\Rightarrow17\le a+17\le26\Rightarrow17\le13.c\le26\Rightarrow c=2\) Thay vào (1)

\(\Rightarrow a=9\)

KL: a=9; b=5; c=2; d=7

Số các số hạng (số ngoặc đơn) là

\(\dfrac{79-1}{2}+1=40\) số hạng

Biểu thức viết thành

\(40x+\left(1+3+5+...+79\right)=41x\)

Tổng của 1+3+5+...+79 là

\(\dfrac{40x\left(1+79\right)}{2}=1600\)

\(\Rightarrow40x+1600=41x\Rightarrow x=1600\)

Diện tích bề mặt chiếc bánh

25x25=625 cm²

Diện tích mỗi mảnh tam giác

625:8=78,125 cm²

a/

Xét tg vuông ABH

\(AH^2=AM.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông ACH có

\(AH^2=AN.AC\) (lý do như trên)

\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)

b/

\(AN\perp AB;MH\perp AB\) => AN//MH

\(AM\perp AC;NH\perp AC\) => AM//NH

=> AMHN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)

Mặt khác \(\widehat{A}=90^o\)

=> AMHN là HCN => AM=NH; AN=MH (cạnh đối HCN)

Xét tg vuông ABH và tg vuông ACH có

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )

=> tg ABH đồng dạng với tg ACH

\(\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{S_{ABH}}{S_{ACH}}\) (hai tg đồng dạng, tỷ số 2 diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AB.MH}{\dfrac{1}{2}.AC.NH}\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{MH}{NH}\) lập phương 2 vế

\(\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{MH^2.MH}{NH^2.NH}\) (1)

Xét tg vuông ABH

\(MH^2=BM.AM\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ tử đỉnh góc vuông bằng tích giữa hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (2)

Xét tg vuông ACH, c/m tương tự

\(NH^2=CN.AN\) (3)

Thay (2) và (3) vào (1)

(1) \(\Leftrightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM.AM.MH}{CN.AN.NH}\)

Mà AM = NH; AN = MH (cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM}{CN}\)

Số cần tìm cộng thêm 1 đơn vị thì chia hết cho 2,3,4,5,6,7

Số chia hết 4,5,6,7 thì cũng chia hết cho 2 và 3

Số nhỏ nhất chia hết cho 4,5,6,7 là

4x5x6x7=840

Số nhỏ hơn 2000 lớn hơn 1000 thoả mãn đề bài là

840x2=1680

O là giao của AH và EF

\(AF\perp AB;HE\perp AB\) => AF//HE

\(AE\perp AC;HF\perp AC\) => AE//HF

=> AEHF là hình bình hành mà \(\widehat{A}=90^o\) => AEHF là HCN

\(\Rightarrow AH=EF\) (trong HCN hai đường chéo băng nhau)

\(OA=OH;OE=OF\) (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> OE=OH => tg OEH cân tại O

Vì AEHF là HCN nên

\(\widehat{EAF}=\widehat{EHF}=90^o\) => A và H cùng nhìn EF dưới 1 góc vuông => AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính EF

Xét tg vuông BEH có

IB=IH (gt) \(\Rightarrow IE=IB=IH=\dfrac{BH}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

=> tg IEH cân tại I \(\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{IHE}\) (1)

tg OEH cân tại O (cmt) \(\Rightarrow\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\) (2)

Mà \(\widehat{IHE}+\widehat{OHE}=\widehat{AHB}=90^o\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{IEH}+\widehat{OEH}=\widehat{FEI}=90^o\)

\(\Rightarrow IE\perp EF\) mà EF là đường kính (O) => IE là tiếp tuyến đường tròn (O).

C/m tương tự ta cũng có \(JF\perp EF\) => JF cũng là tiếp tuyến với (O)

=> IE//JF (cùng vuông góc với EF)

Gọi số cần tìm là \(\overline{A5}\) theo đề bài

\(\overline{A5}-A=104\)

\(10xA+5-A=104\)

\(9xA=99\Rightarrow A=99:9=11\)

Số cần tìm là 115

a/

Xét tg ADE có

\(\widehat{ADE}=\widehat{CDE}\) (gt) (1)

\(\widehat{AED}=\widehat{CDE}\) (góc so le trong) (1)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) => tg ADE là tg cân tại A

=> AD=AE (3)

Xét tg CBF có

\(\widehat{CBF}=\widehat{ABF}\) (gt) (4)

\(\widehat{CFB}=\widehat{ABF}\) (góc so le trong) (5)

Từ (4) và (5) => \(\widehat{CBF}=\widehat{CFB}\)  => tg CBF cân tại C

=> CB=CF (6)

Ta có

AD=CB (cạnh đối hình bình hành) (7)

Từ (3) (6) (7) => AD=AE=CB=CF

Mà \(\widehat{DAE}=\widehat{BCF}\) (góc đối hình bình hành)

=> tg ADE = tg CBF (c.g.c)

=> tg ADE và tg CBF là những tg cân bằng nhau

b/

tg ADE = tg CBF (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{ADE}\)

Mà \(\widehat{EDC}=\widehat{ADE}\) (gt)

\(\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{EDC}\)  Hai góc này ở vị trí đồng vị => DE//BF (8)

Ta có

AB//CD (cạnh đối hình bình hành) => BE//DF (9)

Từ (8) (9) => DEBF là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau là hình bình hành)

Trước đây 2 năm:

chia tuổi bố thành 4 phần bằng nhau thì tuổi An là 1 phần

Hiệu số phần bằng nhau chỉ hiệu giữa tuổi bố và tuổi An là

4-1=3 phần

Phân số chỉ tuổi An là

1:3=1/3 hiệu

Sau 10 năm:

chia tuổi bố thành 11 phần bằng nhau thì tuổi An là 5 phần

Hiệu số phần bằng nhau chỉ hiệu giữa tuổi bố và tuổi An là

11-5=6 phần

Phân số chỉ tuổi An là

5:6=5/6 hiệu

Do mỗi năm mỗi người tăng thêm 1 tuổi nên hiệu giữa tuổi bố và tuổi A không thay đổi

Trước đây 2 năm và sau 10 năm tuổi An tăng thêm là

2+10=12 tuổi

Phân số chỉ 12 tuổi là

5/6-1/3=1/2 hiệu

Hiệu tuổi bố và tuổi An là

12:1/2=24 tuổi

Tuổi An cách đây 2 năm là

24x1/3=8 tuổi

Tuổi An hiện nay là

8+2=10 tuổi

Tuổi bố hiện nay là

10+24=34 tuổi